Rezultate în geometria spațiilor omogene Nearly Kaehler

On the geometry of homogeneous Nearly Kaehler spaces

GNKS

Obiectivul general al proiectului este de a investiga subvarietati Lagrangiene de tip „conformally flat” si de tip CR in spatiul nearly Kaehler S^3 x S^3. Dorim sa obtinem o intelegere mai profunda a proprietatilor acestor familii de subvarietati fundamentale, si, de asemenea, dorim sa construim noi exemple si sa obtinem clasificarea acestor subvarietati atunci cand sunt impuse proprietati geometrice importante.

The purpose of this project is to investigate conformally flat Lagrangian and CR submanifolds of the NK S^3 x S^3  from different points of view, in order to get a better understanding of the family of these fundamental submanifolds and of their properties, to construct new examples and to obtain classification results under important and relevant extra assumptions.

Abstract: Subiectul prezentului proiect este situat în zona Geometriei Riemanniene și propune studiul unei probleme intr-un spațiu omogen de tip Nearly Kaehler (pe scurt NK), in particular in  varietatea produs S^3 х S^3,  înzestrată cu o structură omogenă Nearly Kaehler.  Varietatile de tip Nearly Kaehler  sunt varietati  de tip aproape hermitiene cu o structură aproape complexă J, pentru care câmpul tensorial \tilde∇J este anti-simetric, unde \tilde∇ este conexiunea Levi Civita. Studiul sistematic al varietăților de tip Nearly Kaehler a fost initiat de  A. Gray în 1970, iar mai recent P.-A. Nagy a adus o contribuție fundamentală in clasificarea varietăților de tip Nearly Kaehler, întrucât a arătat printr-o teoremă de structura că cel mai interesant caz pentru varietățile de tip Nearly Kaehler este cel 6-dimensional. Mai mult, J.-B. Butruille a arătat că singurele varietăți de tip Nearly Kaehler omogene de dimensiune 6  sunt sfera 6-dimensionala, produsul (cartezian) intre doua sphere 3-dimensionale, spațiul proiectiv CP^3 și varietatea de tip flag SU (3) / U (1) ) × U (1), unde ultimele trei nu sunt dotate cu metrica standard. Toate aceste spații sunt spații 3-simetrice compacte. O întrebare firească pentru cele patru varietăți de tip Nearly Kaehler menționate mai sus este studierea subvarietatilor lor. Există   cel putin trei tipuri de subvarietati naturale ale varietăților de tip Nearly Kaehler,  respectiv subvarietati aproape complexe, total reale și CR. Subiectul prezentului proiect este situat exact în acest context. Propune, pe de o parte, investigarea subvarietatilor CR, iar pe de altă parte studiul subvarietatilor lagrangiene (care sunt total reale) in varietatea data de produsul intre doua sphere 3-dimensionale, inzestrata cu o structura NK. În ambele cazuri, studiul unor astfel de subvarietati urmărește să aducă contribuții semnificative în literatura de specialitate, prin rezultate de clasificare.

Abstract: The topic of the present project is situated in the area of Riemannian Geometry and proposes the study of a problem on a specific homogeneous Nearly Kaehler  space (or NK space), namely the product manifold of the 3-spheres S^3 х S^3, endowed with a homogeneous Nearly Kaehler structure.  The nearly Kaehler manifolds are almost Hermitian manifolds with an almost complex structure J, for which the tensor field ∇ ̃J is skew-symmetric, where ∇ ̃ is the Levi Civita connection. The systematic study of nearly Kaehler manifolds originates with the work of A. Gray in 1970, but recently P.-A. Nagy made a fundamental contribution to the classification of nearly Kaehler manifolds, as he showed by a structure theorem that the most interesting case for the nearly Kaehler manifolds is the 6-dimensional one. Moreover, it has been shown by J.-B. Butruille that the only homogeneous 6-dimensional nearly Kaehler manifolds are the nearly Kaehler 6-sphere S^6, 〖 S〗^3 х S^3, the projective space CP^3 and the flag manifold SU(3)/U(1) × U(1), where the last three are not endowed with the standard metric. All these spaces are compact 3-symmetric spaces.  A natural question for the above mentioned four homogeneous nearly Kaehler manifolds is to study their submanifolds. There are at least three natural types of submanifolds of Nearly Kaehler (or more generally, almost Hermitian) manifolds, namely almost complex, totally real and CR submanifolds. The subject of the present project is  two folded and is situated precisely in this context. It proposes, on the one hand the investigation of CR submanifolds, and on the other hand the study of Lagrangian submanifolds (which are totally real submanifolds) of the NK manifold S^3 х S^3.  In both cases, the study of such submanifolds under specific conditions,  aims at bringing significant contributions in the literature, by classification results.

Echipa proiectului/The project team:

  • dr. Marilena Moruz (Director proiect/The Project leader)
  • Prof. dr. habil. Marian-Ioan Munteanu [Mentor]

Dissemination of scientific results:

1.On the nonexistence and rigidity for hypersurfaces of the homogeneous nearly Kähler SS3 –  Zejun Hu, Marilena Moruz, Luc Vrancken, Zeke Yao; Differential Geometry and it Applications, Volume 75, April 2021, art. no. 101717.

În această lucrare, studiem hipersuprafețele varietatii omogene NK (nearly Kähler)  S3×S3. Ca rezultate principale, arătăm  întâi că varietatea omogena NK S3×S3 nu admite  nici hipersuprafețe  de tip locally conformally flat, nici hipersuprafețe Einstein Hopf.  Apoi, stabilim o inegalitate integrală de tip Simons pentru hipersuprafețele compacte  minimale ale varietătii omogene NK S3×S3 și, ca implicatie directă a acesteia, obținem  noi caracterizări pentru hipersuprafețele  varietătii NK S3×S3 pentru care operatorul shape A și structura de tip almost contact  φ comuta, i.e. Aφ =φA . Hipersuprafețele din varietatea NK S3×S3 care satisfac această ultimă condiție au fost clasificate într-o lucrare anterioară.

2. Totally geodesic surfaces in the complex quadric – Marilena Moruz, Joeri Van der Veken, Luc Vrancken,  Anne Wijffels; Contemporary Mathematics (AMS), volumul Differential  Geometry and Global Analysis. In Honor of Tadashi Nagano, editat de catre Bang-Yen Chen,  Nicholas D. Brubaker, Takashi Sakai, Bogdan D. Suceavă, Makiko Sumi Tanaka,  Hiroshi Tamaru,  Mihaela B. Vajiac.

În această lucrare obtinem descrieri explicite ale tuturor suprafețelor total geodezice ale unei quadrici complexe de dimensiune arbitrara. Aceste subvarietăți ale quadricei complexe au fost studiate pentru prima dată de Chen și Nagano în 1977 și sunt pe deplin clasificate de Klein din 2008. In rezultatele publicate in prezenta lucrare interpretăm unele dintre suprafețele total     geodezice ca fiind imagini gaussiene ale suprafețelor dintr-o sfera 3-dimensionala unitara, iar restul celorlalte suprafete le  interpretam  ca elemente ale secvenței Veronese introduse de Bolton, Jensen, Rigoli și Woodward. De asemenea, prezentam pe scurt cum clasificarea obtinuta poate fi transpusa în dualul  noncompact al cuadricei complexe, și anume cuadrica complexă de tip hiperbolic.

3. Ruled Real Hypersurfaces in the Indefinite Complex Projective Space – Marilena Moruz, Miguel Ortega,  Juan de Dios Pérez; lucrarea se afla in procesul de peer-review la o revista de specialitate.

Exista două familii principale de hipersuprafețe reale în  spatiile de tip complex space forms, si anume cele de tip Hopf și cele riglate. Cu toate acestea, desi sunt oarecum analoage, se cunosc foarte puține despre hipersuprafețele reale din spațiul proiectiv complex CP^n_p  inzestrat cu o metrica indefinita de indice p. Într-o lucrare anterioară,  Kimura și al  doilea autor au introdus hipersuprafețele reale Hopf în CP^n_p. În această lucrare sunt introduse hipersuprafețe reale riglate în spațiul proiectiv complex indefinit, ca fiind acele hipersuprafete pentru care  distribuția holomorfă de dimensiune maximală este integrabilă    alaturi de cateva alte conditii tehnice. Se obtine o descriere detaliată a    operatorului Weingarten, obținându-se două familii principale diferite. Este expusă o metodă de construcție a acestor hipersuprafete, prin lipirea într-un mod adecvat a hiperplanelor holomorfe total  geodezice de-a lungul unei curbe nenule. În continuare, se obține clasificarea tuturor suprafețelor reale minimale riglate, în termeni de trei  familii principale de curbe, și anume:  geodezice, cercuri de tip totally real și un al treilea caz in  care curba nu este o curbă Frenet, dar poate fi calculată în mod explicit. Sunt descrise patru exemple.

4. Magnetic Jacobi fields in 3-dimensional Sasakian space forms – Jun-Ichi Inoguchi, Marian Ioan Munteanu; lucrarea se afla in procesul de peer-review la o revista de specialitate.

Exemple reprezentative de câmpuri magnetice uniforme sunt furnizate de câmpurile magnetice Kaehler. Din acest punct de vedere, câmpurile magnetice Jacobi de pe suprafețe sau varietățile Kaehler au fost investigate de Adachi și Gouda. Dimpotrivă, varietățile Sasakiene au câmpuri magnetice neuniforme. In lucrarea noastra obținem toate câmpurile magnetice Jacobi de-a  lungul curbelor magnetice de contact în forme spațiale Sasakiene tridimensionale.

5. Magnetic Jacobi fields in Sasakian space forms – Jun-Ichi Inoguchi, Marian Ioan Munteanu; lucrarea se afla in procesul de peer-review la o revista de specialitate.

Lucrarea de față este o continuare a lucrării 4 (de mai sus) pentru dimensiune oarecare (impară). Este foarte dificil să studiezi câmpurile magnetice Jacobi ale câmpurilor magnetice neuniforme într-o varietate riemanniană arbitrară înzestrata cu câmp magnetic. Câmpurile magnetice canonice ale varietăților Sasakiene sunt neuniforme, dar exacte. În această lucrare arătăm ca se pot  determina complet câmpurile magnetice Jacobi pe forme spațiale Sasakiene de dimensiune mai mare sau egală cu 5.

6.Magnetic curves in the generalized Heisenberg group – Marian Ioan Munteanu, Ana Irina Nistor; Nonlinear Analysis (theory methods and applications) 214 (2022), art. nr. 112571. ISSN:0362-546X

Autorii au investigat curbele magnetice in spatiul Heisenberg generalizat H(n,1). Cand pe o varietate Riemanniana se considera un camp magnetic, reprezentat de o 2-forma inchisa, traiectoriile corespunzatoare se numesc curbe magnetice sau geodezice magnetice. Ambele, geodezicele si curbele magnetice, provin din probleme variationale, astfel ca importanta celor din urma conduce la un studiu profund (atat prin analogie cu geodezicele cat si de sine statator). Am fost interesat de studiul  curbelor magnetice in spatiul Heisenberg generalizat H(n,1), care este înzestrat canonic cu o structura quasi-Sasakiana. Aceste curbe au o proprietate  interesanta, anume ca formeaza unghi constant cu vectorul Reeb al lui H(n,1). Am aratat apoi ca o curba magnetica in H(n,1), care nu este geodezica, are ordin maxim 5. Acest rezultat împreună cu alte rezultate înrudite, ne face sa credem ca rezultatul este valabil in orice varietate quasi-Sasakiana de dimensiune strict mai mare decât 3. In plus, toate cele 4 curburi nenule sunt constante, deci curba magnetica este o elice slant.

7. Warped product hypersurfaces in pseudo-Euclidean space – Moruz Marilena; lucrarea este in proces de peer- review la un jurnal de specialitate.

Directorul de proiect a studiat hypersuprafetele de tip warped product din spatiul pseudo-Euclidian ^+1, ca o aplicatie directa a tehnicilor de lucru utilizate anterior in investigarea varietatii NK S3S3. Varietatile de tip warped product reprezinta o generalizare a varietatilor produs, inzestrate cu o metrica de tip warped product. Rezultatul obtinut descrie imersia izometrica a unei astfel de varietati de forma ^= ×_ \tilde{}^+1() in spatiul pseudo- euclidian de dimensiune +1 și ne asigură ca hypersuprafata trebuie să aibă curbur sectionala constanta sau sa fie o hypersuprafata de rotatie. Pentru acest lucru, definim întâi hypersuprafetele de rotație în spațiul pseudo-euclidian de dimensiune +1 prin analogie cu cazul euclidian. Rezultatele intermediare precum și Teorema principală se regasesc in lucrarea intitulata “ Warped product hypersurfaces in pseudo-Euclidean space”.

Finanțare prin/Finance by: PN III Planul Naţional de Cercetare, Dezvoltare şi Inovare 2015 – 2020, Programul 1: Dezvoltarea sistemului național de CD, Subprogramul 1.1 Resurse umane

PD: https://uefiscdi.gov.ro/proiecte-de-cercetare-postdoctorala

Contract nr. PD 135/ 01.09.2020

COD: PN-III-P1-1.1-PD-2019-0253

Implementare /Implementation period: 01.09.2020- 31.08.2022

Valoare contract/Contract value: 246,550.00 lei

Director proiect/Project Manager: dr. Marilena Moruz

——————————————————————————————

Contact: marilena.moruz@gmail.com